Гигиена

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале? 8 класс

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале? 8 класс

  1. Наибольшее и наименьшее значение функции.

    С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

    Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком формула, открытым интервалом формула, бесконечным промежутком формула.

    В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x).

    Навигация по странице.

    Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.
    Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке a;b.
    Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале X.
    Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

    Кратко остановимся на основных определениях.

    Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула.

    Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула.

    Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе формула.

    Стационарные точки это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

    Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

    Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

    Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме: «Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

    Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки и многое прояснится.

    На отрезке

    изображение

    На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка -6;6.

    Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на 1;6. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

    На рисунке 3 граничные точки отрезка -3;2 являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

    На открытом интервале

    изображение

    На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6).

    На интервале 1;6) наименьшее значение

  2. Это наибольшее и наименьшее значения y, при наибольшем и наименьшем значениях x, принадлежащих этому интервалу. Например, y наибольшее и наименьшее значения функции y=x при промежутке 1; 5)
    yнаиб. =2, yнаим. =1. Чаще всего вычисляется по графику.
  3. если коротко, то на концах отрезка и в точках экстремума

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *