Бизнес

Первая чеченская война

1. Загальні вказівки до виконання модульних робіт.

1. За час вивчення першого модуля курсу загальної фізики студент повинен виконати контрольну модульну роботу № 1.

Номери задач, які студент повинен включити в свою контрольну модульну роботу, визначаються за таблицями варіантів, які приведені на сторінці 110 даного навчального посібника. Номер варіанта для кожного студента визначається викладачем або лаборантом кафедри фізики при отриманні ним завдання.

2. Контрольні модульні роботи виконуються в шкільному зошиті, на обкладинці якого треба надати відомості за наступним зразком:

Контрольна модульна робота № ___ з загальної фізики

студента групи ПЦБ — 00 – 1 Кисельова А.В.

3. Умови задач в контрольній модульній роботі треба переписувати повністю. Розв’язання задач потрібно супроводити короткими, але вичерпними поясненнями. Коли це потрібно, приводяться креслення, що пояснюють розв’язування задачі.

4. Розв’язувати задачі треба в загальному вигляді, тобто виразити шукану величину в буквених позначеннях параметрів, що задані в умові задачі.

5. Числові значення при підстановці їх в розрахункову формулу і отриману відповідь потрібно давати в одиницях системи СІ, за винятком випадків, коли в умові задачі вказано інше.

Обчислення треба проводити з дотриманням правил приблизних обчислень до значущих цифр. При записі відповіді числові значення потрібно записувати як добуток десяткового дробу з однією значущою цифрою перед комою на відповідну міру десяти. Наприклад, замість 0,00129 треба записувати 1,29 10-3.

6. Розв’язування деяких задач потребує використовування даних про фізичні константи та властивості об’єктів, які в цих задачах згадуються. Ці дані треба брати з відповідних таблиць, що наведені у кінці цього посібника.

2. Таблиця варіантів контрольної модульної роботи.

Варіант Номери задач
1.1. 1.31. 1.61. 1.91. 1.121. 1.151.
1.2. 1.32. 1.62. 1.92. 1.122. 1.152.
1.3. 1.33. 1.63. 1.93. 1.123. 1.153.
1.4. 1.34. 1.64. 1.94. 1.124. 1.154.
1.5. 1.35. 1.65. 1.95. 1.125. 1.155.
1.6. 1.36. 1.66. 1.96. 1.126. 1.156.
1.7. 1.37. 1.67. 1.97. 1.127. 1.157.
1.8. 1.38. 1.68. 1.98. 1.128. 1.158.
1.9. 1.39. 1.69. 1.99. 1.129. 1.159.
1.10. 1.40. 1.70. 1.100. 1.130. 1.160.
1.11. 1.41. 1.71. 1.101. 1.131. 1.161.
1.12. 1.42. 1.72. 1.102. 1.132. 1.162.
1.13. 1.43. 1.73. 1.103. 1.133. 1.163.
1.14. 1.44. 1.74. 1.104. 1.134. 1.164.
1.15. 1.45. 1.75. 1.105. 1.135. 1.165.
1.16. 1.46. 1.76. 1.106. 1.136. 1.166.
1.17. 1.47. 1.77. 1.107. 1.137. 1.167.
1.18. 1.48. 1.78. 1.108. 1.138. 1.168.
1.19. 1.49. 1.79. 1.109. 1.139. 1.169.
1.20. 1.50. 1.80. 1.110. 1.140. 1.170.
1.21. 1.51. 1.81. 1.111. 1.141. 1.171.
1.22. 1.52. 1.82. 1.112. 1.142. 1.172.
1.23. 1.53. 1.83. 1.113. 1.143. 1.173.
1.24. 1.54. 1.84. 1.114. 1.144. 1.174.
1.25. 1.55. 1.85. 1.115. 1.145. 1.175.
1.26. 1.56. 1.86. 1.116. 1.146. 1.176.
1.27. 1.57. 1.87. 1.117. 1.147. 1.177.
1.28. 1.58. 1.88. 1.118. 1.148. 1.178.
1.29. 1.59. 1.89. 1.119. 1.149. 1.179.
1.30. 1.60. 1.90. 1.120. 1.150. 1.180.


3. Задачі контрольної модульної роботи.

1.1.Дві автомашини рухаються дорогами, кут між якими b=60°. Швидкість автомашин V1 = 54 км/г і V2 = 72 км/г. З якою швидкістю віддаляються машини одна від одної?

1.2.Першу половину свого шляху автомобіль рухався з швидкістю 72 км/г, а другу половину — з швидкістю 54 км/г. Знайти середню швидкість руху автомобіля?

1.3.Першу третину шляху велосипедист проїхав з швидкістю V1 = 18 км/г. У подальшому половину часу, що залишився, він їхав з швидкістю V2 = 22 км/г, після чого до кінцевого пункту він йшов пішки з швидкістю V3 = 5 км/г. Визначити середню швидкість руху велосипедиста.

1.4.Пароплав плив річкою з пункту А в пункт В зі швидкістю V1=10 км/г, а у зворотному напрямку зі швидкістю V2=16 км/г. Знайти швидкість пароплава і швидкість течії річки.

1.5.Тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю V0 = 4 м/с. Коли воно досягло верхньої точки польоту, з того ж початкового пункту, з тією ж початковою швидкістю v0 вертикально вгору кинуто друге тіло. На якій відстані h від початкового пункту зустрінуться тіла?

1.6.Матеріальна точка почала рухатися прямолінійно з прискоренням 5 м/с2. Визначити, наскільки шлях, пройдений точкою в n секунду, буде більшим від шляху, пройденого в n-1 секунду.

1.7. Матеріальна точка рухається прямолінійно з початковою швидкістю 10 м/с і постійним прискоренням а = -5 м/с2. Визначити, у скільки разів шлях S, пройдений точкою, буде перевищувати модуль її переміщення Dr через 5 с після початку відліку часу.

1.8.Тіло кинуто під кутом b = 30° до горизонту з швидкістю V0 = 30 м/с. Якими будуть нормальне an і тангенціальне at прискорення тіла через 1 с після початку руху ?

1.9.Камінь, кинутий горизонтально, впав на землю через 0,5 с на відстані 5 м по горизонталі від місця кидання. З якої висоти кинули камінь? З якою швидкістю він впаде на землю? Який кут складе траєкторія каменя з горизонтом в точці його падіння?

1.10.

Камінь кинуто горизонтально з швидкістю Vx = 10 м/с. Знайти радіус кривизни R траєкторії каменя через 3 секунди після початку його руху.

1.11.Матеріальна точка рухається в площині згідно з рівняннями X = A1+B1t+C1t2 та Y = A2+B2t+C2t2, де B1 =7 м/с, C1 = -2 м/c2, B2 = -1 м/с, С2 = 0,2 м/с2. Знайти модулі швидкості та прискорення точки в момент часу t = 5 с.

1.12.Залежність пройденого тілом шляху S від часу t задається рівнянням S=А+Bt+Ct2+Dt3, де С=0,14 м/с2 і D=0,01 м/с3. Через який час після початку руху прискорення тіла буде 1 м/с2 ?

1.13.Визначити шлях, пройдений машиною за 12 секунд з моменту старту, якщо її швидкість v з часом t змінювалася за наступним законом v = 2 — 6t + t2.

1.14.Швидкість тіла V з часом t змінюється за наступним законом: V = 2 — 4t + 3t2. Знайти шлях, пройдений тілом за перші дві секунди його руху.

1.15.Швидкість тіла V з часом t змінюється за наступним законом V = 20 — 3t. Знайти шлях, пройдений тілом за четверту секунду його руху.

1.16.Закон прямолінійногоруху точки: Х = 10 — 4t + 0,2t2. Визначити шлях, пройдений точкою від початку відліку часу до зупинки.

1.17.Матеріальна точка рухається по колу з постійною кутовою швидкістю w = p/6 рад/с. У скільки разів шлях s, пройдений точкою за час t = 4 с, буде більшим від модуля її переміщення Dr? Прийняти, що в початковий момент часу радіус-вектор r, що задає положення точки, був повернутий відносно початкового положення на кут j0 = p/3 рад.

1.18.Знайти радіус колеса, якщо лінійна швидкість точки, що знаходиться на його ободі у 2,5 рази більша від лінійної швидкості точки, яка знаходиться на 5 см ближче до осі колеса.

1.19.Точка рухається по колу радіусом 30 см з постійним кутовим прискоренням. Визначити тангенціальне прискорення точки, якщо за 4 секунди вона здійснила 3 оберти і в кінці третього оберту її нормальне прискорення складало an = 2,7 м/с2.

1.20.

Колесо, обертаючись рівноуповільнено, за 1 хвилину зменшило свою частоту з n1=300 об/хв. до n2=180 об/хв. Знайти кутове прискорення і число обертів колеса за цей час.

1.21.Колесо, обертаючись рівноприскорено, досягло кутової швидкості w =20 рад/с через 10 обертів після початку руху. Знайти кутове прискорення e колеса.

1.22.Вісь з двома дисками, що розташовані на відстані 0,5 м один від одного, обертається з частотою n=1600 об/хв. Куля, що летить вздовж осі, пробиває обидва диски, при цьому отвір від кулі у другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут b=30°. Знайти швидкість кулі.

1.23.Точка рухається по колу радіусом R=20 см з постійним тангенціальним прискоренням аt = 5 см/с2. Через який час t після початку руху нормальне прискорення an точки буде дорівнювати тангенціальному?

1.24.Точка рухається по колу радіусом 4 м. Закон її руху описується рівнянням S =А — Bt2, де А = 8 м, В = -2 м/с2. Визначити момент часу, коли нормальне прискорення точки дорівнює 9 м/с2. Знайти швидкість V, тангенціальне аt і повне прискорення точки в цей же момент часу.

1.25.Колесо радіусом 10 см обертається так, що залежність його кута повороту від часу має вигляд j=2t+t3. Для точок колеса визначити лінійну швидкість через 2 с від початку його руху.

1.26.Колесо радіусом 10 см обертається так, що залежність його кута повороту j від часу t задається рівнянням j = 2t + t3. Знайти кутову швидкість та кутове прискорення колеса через 2 с від початку його руху.

1.27.Точка рухається по колу радіусом 2 метри. Залежність пройденого точкою шляху від часу має вигляд S = 4t + 4t3. Знайти повне прискорення точки в момент часу, що дорівнює 1,5 с.

1.28.Кут повороту колеса з часом задається рівнянням j=A+Bt+Ct2+Dt3, де B=1 рад/с, С=1 рад/с2, D=1 рад/с3. Знайти радіус колеса, якщо через 2 с після початку його руху нормальне прискорення точок, що знаходяться на ободі колеса, було 289м/с2.

1.29.Точка обертається по колу так, що зміна її кутової швидкості з часом має вигляд w=14t-2. Визначити кут повороту точки за час від другої до сьомої секунди після початку її руху.

1.30.Кутова швидкість точки, що обертається по колу, з часом змінюється за законом w= А+Вt + Сt2, де А=3 рад/с, В=4 рад/с2, С = 3 рад/с3. Визначити число повних обертів, що зробить точка за чотири секунди після початку відліку часу.

1.31.Радіуси двох однорідних куль, що виготовлені з однакового матеріалу, відрізняються у 3 рази. У скільки разів відрізняються їхні маси?

1.32.Система з двох однакових куль, що торкаються одна одної, розташована горизонтально. Маси куль m1=1 кг і m2=0,5 кг, радіуси R1 = 1 см та R2 = 0,5 см. На якій відстані від центра більшої кулі розташований центр ваги системи?

1.33.На скільки переміститься відносно берега човен довжиною L=3,5 м і масою m1 = 200 кг, якщо, стоячи на корм,і людина масою m2=80 кг переміститься на ніс човна? Вважати човен розташованим перпендикулярно берегу.

1.34.Довжина горизонтально встановленого важеля з вантажами величиною 50 Н та 150 Н на кінцях дорівнює 8 метрам. Знайти плече сили ваги більшого вантажу.

1.35.Рейку довжиною 10 м і масою 900 кг піднімають на двох паралельних тросах. Знайти силу натягу тросів, якщо один з них прикріплений до кінця рейки, а інший — на відстані 1 метр від другого кінця рейки.

1.36.Під дією сили в 10 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність пройденого ним шляху S від часу t має наступний вигляд S = 5 — 2t + 4t2. Знайти масу тіла.

1.37.Яку силу F треба прикласти до вагона, що стоїть на рейках, щоб він став рухатися рівноприскорено і за час t =30 с пройшов шлях S = 11 м ? Маса вагона m=16 т. Під час руху на вагон діє сила тертя Fтp, що дорівнює 0,05 сили його ваги.

1.38.Тіло масою 2,2 кг рухається прямолінійно, а залежність пройденого тілом шляху від часу має вигляд S=4+2t-3t2+2t3. Знайти імпульс тіла в момент часу рівний 6 секундам.

1.39.

Тіло масою 1,1 кг рухається так, що залежність пройденого тілом шляху від часу має вигляд S = 5t + 6t2 — t3. Знайти величину сили, що діє на тіло через 0,4 с після початку його руху.

1.40.Тіло масою 0,5 кг рухається так, що залежність пройденого ним шляху від часу дається рівнянням S = Asin(wt), де А = 5 см, w = p с-1. Знайти модуль сили, що буде діяти на тіло через одну шосту частину секунди після початку відліку часу.

1.41.Яку роботу потрібно виконати людині, щоб за 100 секунд піднятися ескалатором, який рухається вниз? Висота підйому дорівнює 15 м, швидкість ескалатора постійна і становить 1 м/с, кут нахилу ескалатора до обрію 300. Маса людини 60 кг.

1.42.Снаряд, що летів з швидкістю 400 м/с, у верхній точці траєкторії розірвався на 2 осколки. Менший, маса якого становить 40 % від маси снаряда, полетів в протилежному напрямку зі швидкістю U1=150 м/с. Знайти швидкість більшого осколку.

1.43.Гармата, що жорстко закріплена на залізничній платформі, зробила постріл вздовж полотна залізниці під кутом b=30° до лінії горизонту. Визначити швидкість U2 відкоту платформи, якщо снаряд вилітає з швидкістю U1= 480 м/c. Маса платформи з гарматою і снарядами m2=18 т, маса одного снаряда m1=60 кг.

1.44.Куля масою m1=1 кг рухається зі швидкістю V1=4 м/с і стикається з кулею масою m2=2 кг, що рухається їй назустріч зі швидкістю V2=3 м/с. Знайти швидкості U1 і U2 куль після удару?

1.45.Куля масою 10 кг стикається з кулею масою 4 кг. Швидкість першої кулі V1 = 4 м/с, другої — V2 = 12 м/с. Знайти загальну швидкість U куль після абсолютно непружного удару у випадках: 1) мала куля наздоганяє велику кулю, що рухається у тому ж напрямку, 2) кулі рухаються назустріч одна одній.

1.46.По невеликому шматку м’якого заліза, що лежить на ковадлі масою m1=300 кг, ударяє молот масою m2=8 кг. Визначити ККД удару за умови, що він абсолютно непружний.

1.47.При пострілі з гармати, що була нерухомо закріплена, снаряд вилетів зі швидкістю V1=600 м/с. А коли гарматі дали можливість вільно відкочуватися назад, снаряд вилетів з швидкістю V2=580 м/с. З якою швидкістю відкотилася при цьому гармата ?

1.48.

Прискорення тіла масою 10 кг, що падає в атмосфері, дорівнює 7 м/с2. Знайдіть силу опору повітря в цьому випадку.

1.49.Куля, що рухалася горизонтально, зіткнувся з нерухомою кулею і передала їй 64 % своєї кінетичної енергії. Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний. У скільки разів маса другої кулі більша за масу першої?

1.50.У дерев’яний шар масою m1 =0,8 кг, який підвішений на нитці довжиною L = 1,8 м, попала куля масою m2 =4 г, що летіла горизонтально. З якою швидкістю летіла куля, якщо шар з застряглою в ньому кулею відхилилася від вертикалі на кут b=30°?

1.51.Куля масою 5 г, що летить горизонтально, попадає в шар масою 0,5 кг і застряє в ньому. Шар підвішений на невагомій нитці. Швидкість кулі 505 м/с. При якій граничній довжині нитки, шар від удару кулі підніметься до верхньої точки кола?

1.52.Куля летить з деякою початковою швидкістю. Вона пробиває дошку товщиною 3,6 см і летить далі зі швидкістю, що складає 0,8 початкової. Якої максимальної товщини дошку, може пробити куля рухаючись з цією ж початковою швидкістю?

1.53.Робота, що виконується двигуном, з часом змінюється за законом А = 12 + 4t + 2t2. Визначити потужність двигуна у момент часу, що дорівнює 11 секундам.

1.54.Потужність двигуна з часом змінюється за законом n=12t2. Визначити роботу, виконану двигуном за перші три секунди його роботи.

1.55.Потужність двигуна з часом змінюється за законом n=9t2. Визначити роботу виконану двигуном у проміжок часу від другої до п’ятої секунди після початку його роботи.

1.56.Тіло масою 10 кг рівномірно рухається по горизонтальній поверхні під дією сили у 25 Н, що спрямована під кутом 600 до обрію. З яким прискоренням буде рухатись тіло під дією цієї ж сили, якщо спрямувати її горизонтально?

1.57.М’яч падає з висоти 5 м на гладку підлогу. Яку початкову швидкість потрібно надати м’ячу, щоб після двох ударів об підлогу він досяг початкової висоти, якщо при кожному ударі м’яч втрачає 20 % своєї енергії?

1.58.

Яку масу бензину витрачає автомобіль на шляху в 100 км, якщо при потужності двигуна у 46 квт швидкість його руху становить 180 км/г? ККД двигуна дорівнює 20 %, питома теплота згоряння бензину 46 мДж/кг.

1.59.Знайти ККД двигуна автомобіля потужністю 23 квт, якщо при швидкості руху 125 км/г він споживає 10 літрів бензину на 100 км шляху. Густина бензину 0,8 103 кг/м3, питома теплота згоряння — 46 мДж/кг.

1.60.Два тіла масами 20 кг і 30 кг рухаються назустріч одне одному у взаємно перпендикулярних напрямках зі швидкостями 3 м/с та 4 м/с відповідно. У результаті зіткнення тіла злипаються. Яка кількість теплоти виділиться в результаті цього зіткнення?

1.61.Пружина жорсткістю k=500 Н/м стиснута силою 100 Н. Визначити роботу зовнішньої сили, що додатково стискає пружину ще на DL=2 см.

1.62.Жорсткість шматка дроту дорівнює 460 Н/м. Чому дорівнює жорсткість половини цього шматка дроту?

1.63.Потрібно, щоб сталевий стрижень довжиною півтора метри при навантаженні силою у 5000 н не подовжувався більше, як на 0,3 мм. Якого перерізу (у мм2) треба взяти стрижень? Модуль пружності сталі 200 ГПа

1.64.Визначити роботу розтягнення двох зчеплених послідовно пружин з коефіцієнтами жорсткості k1=400 Н/м та k2=250 Н/м, якщо перша пружина при цьому розтяглася на DL=2 см.

1.65.З жорстко закріпленого пістолета вилетіла куля масою m1=10 г зі швидкістю V=300 м/с. Затвор пістолета масою m2=200 г притискається до ствола пружиною, жорсткість якої k=25 кН/м. На яку відстань відійде затвор після пострілу?

1.66.Якщо на верхній кінець вертикально розташованої спіральної пружини покласти вантаж, то пружина стиснеться на 3 мм. На скільки стисне пружину той же вантаж, якщо він впаде на цю пружину з висоти h = 8 см?

1.67.Трос, розрахований на піднімання вантажу масою 6,28т, складається з 64 сталевих дротин діаметром 2,5 мм. знайти запас міцності троса, якщо межа міцності сталі дорівнює 0,68 гпа.

1.68.

Два бруски, що вдвічі відрізняютьсяза масою, з’єднані пружиною. Коли важчий брусок ставлять на горизонтальний стіл, то під вагою легшого, пружина стискується до розміру 8 см. Коли бруски поміняти місцями, пружина стискується до розміру 5 см. Визначити початкову довжину пружини.

1.69.Зі скількох дротин, діаметром 2 мм, зроблений трос, що розрахований на піднімання вантажу масою 3140 кг, якщо запас його міцності становить 3,4. Межа міцності сталі 0,68 гпа.

1.70.Тіло ковзає по похилій площині, що складає з горизонтом кут j = 45°. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням S = Ct2, де С = 1,73 м/с2. Знайти коефіцієнт тертя k тіла об площину.

1.71.З вершини похилої площини висотою 10 м і кутом нахилу до обрію 30° починає зісковзувати тіло. Визначити швидкість тіла наприкінці спуску з площини. Коефіцієнт тертя тіла об площину становить 0,175.

1.72.З якою мінімальною силою, що спрямована горизонтально, потрібно притулити плоский брусок до стіни, щоб він не зісковзнув униз? Вага бруска 50 Н, а коефіцієнт тертя 0,1.

1.73.Дерев’яний брусок масою 2 кг лежить на похилій площині з кутом нахилу до обрію 60°. Коефіцієнт тертя бруска об площину становить 0,4. З якою силою потрібно притулити брусок до цієї площини, щоб він залишався у спокої?

1.74.Невагомий блок укріплений на кінці стола (див. рис. 1.1). Гирі 1 і 2 однакових мас m1 = m2 = l кг зчеплені ниткою і перекинені через блок. Коефіцієнт тертя гирі 2 об стіл k = 0,1. Знайти прискорення, з яким рухаються гирі, і силу натягу нитки Т.


Рис. 1.1.

1.75.Дві гирі масами 2 кг і 1 кг зчеплені ниткою і перекинені через невагомий блок. Знайти прискорення, з яким рухаються гирі і силу натягу нитки. Тертям у блоці знехтувати.

1.76.Два бруски масою 1 кг кожний лежать на дошці. Яку сиу потрібно прикласти, щоб витягти нижній брусок з-під верхнього? Коефіцієнт тертя на поверхнях дощок k = 0,3.


Рис. 1.2.

1.77.Невагомий блок, закріплений на вершині похилої площини, складає з горизонтом кут b = 30° (див. рис. 1.2). Гирі 1 і 2 однакової маси m1 = m2 = l кг зчеплені ниткою, що перекинута через блок. Знайти прискорення, з яким рухаються гирі і силу натягу нитки Т. Коефіцієнт тертя гирі 2 об похилу площину k = 0,1.

1.78.Похила площина розташована під кутом 30° до обрію. При яких значеннях коефіцієнта тертя, витягати по ній вантаж важче, ніж піднімати вертикально? Рух вважати рівномірним.

1.79.Який кут b з горизонтом складає поверхня бензину в баку автомобіля, що рухається з прискоренням 2,44 м/с2 ?

1.80.Куля на нитці підвішена до стелі трамвайного вагона. Вагон гальмується, і його швидкість за час t = 3 с рівномірно зменшується від 18 до 6 км/г. На який кут відхилиться при цьому нитка з кулею?

1.81.Вагон гальмується і його швидкість за 3,3 секунди рівномірно зменшується від 47,82 км/г до 30 км/г. Яким повинен бути граничний коефіцієнт тертя між валізою і полицею, щоб валіза при гальмуванні не почала сковзати по полиці?

1.82.Куля масою 200 г обертається на нитці в горизонтальній площині з частотою 0,5 об/с, описуючи при цьому коло радіусом 0,75 м. Знайти силу натягу нитки.

1.83.Цебро з водою обертають у вертикальній площині на мотузці довжиною 2,5 м. З якою мінімальною кутовою швидкістю треба обертати цебро, щоб вода не вилилась з нього?

1.84.На відстані 50 см від вертикальної осі горизонтальної платформи, що обертається, лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між вантажем і платформою 0,05. При якій частоті обертання вантаж почне сковзати?

1.85.Вантаж масою 0,5 кг, прив’язаний до гумового шнура довжиною L0 = 9,5 см, відхиляють на кут j = 90° і відпускають. Знайти довжину L гумового шнура в момент проходження вантажем положення рівноваги. Жорсткість шнура k = 1 кН/м.

1.86.

Гиря масою m = 0,5 кг, що прив’язана до гумового шнура довжиною L0, описує в горизонтальній площині коло. Частота обертання гирі n = 2 об/с. Кут відхилення гумового шнура від вертикалі j = 30°. Жорсткість шнура k = 0,6 кН/м. Знайти довжину L0 нерозтягнутого гумового шнура.

1.87.Тіло зісковзує з вершини півсфери, радіус якої становить 3 метри. На якій висоті щодо підстави півсфери тіло відірветься від її поверхні?

1.88.З якою швидкістю всередині сфери радіусом 20 см повинна обертатися кулька, щоб вона увесь час знаходилась на висоті 10 см щодо нижньої точки сфери?

1.89.Камінь масою 0,5 кг, прив’язаний до мотузки довжиною 50 см, рівномірно обертається у вертикальній площині. Сила натягу мотузки в нижній точці кола становить 45 Н. На яку висоту підніметься камінь, якщо мотузка обірветься в той момент, коли його швидкість спрямована вертикально вгору?

1.90.Два тіла масою 90 і 60 грам зв’язані ниткою довжиною 1,5 метри. Обидва тіла починають обертатись в горизонтальній площині відносно спільного центру ваги так, що сила натягу нитки становить 14,4 Н. Знайдіть кутову швидкість обертання тіл.

1.91.До обода колеса радіусом R = 0,5 м і масою m = 50 кг прикладена дотична сила F = 98,1 Н. Знайти кутове прискорення колеса. Через який час t після початку дії сили колесо буде мати частоту обертання 100 об/с ? Колесо вважати однорідним диском.

1.92.Однорідний диск, момент інерції якого J = 63,6 кгм2, обертається з кутовою швидкістю w = 31,4 рад/с. Найти момент сил гальмування М, під дією якого диск зупиняється через 20 с.

1.93.Однорідний диск радіусом R = 0,2 м і масою m = 10 кг зчеплений з мотором за допомогою привідного ременя. Сила натягу ременя, що йде без ковзання — 14,7 Н. Яку частоту обертання буде мати диск через 10 с після початку руху?

1.94.По дотичній до шківа маховика у вигляді диска діаметром 75 см і масою 40 кг прикладена сила F = 1 кН. Визначити кутове прискорення і частоту обертання маховика через 10 с після початку дії сили, якщо радіус шківа 12 см.

1.95.

Диск діаметром 60 см і масою 1 кг обертається навколо осі, що проходить через його центр з частотою n = 20 об/с. Яку роботу треба виконати, щоб зупинити диск?

1.96.Стрижень обертається навколо осі, що проходить через його середину у відповідності до рівняння j=At+Bt3, де А=2рад/с, В=0,2рад/с3. Знайти момент сил, що буде діяти на стрижень через 2 с після початку його руху. Момент інерції стрижня 0,048 кг м2.

1.97.Визначити момент сили М, який необхідно прикласти до блока, що обертається з частотою n = 12 с-1, щоб він зупинився протягом 8 с. Діаметр блока D = 30 см. Масу блока у 6 кг вважати рівномірно розподіленою по ободу.

1.98.Циліндр обертається навколо горизонтальної осі, що співпадає з віссю циліндра. Маса циліндра 12 кг. На циліндр намотали шнур, до якого прив’язали гирю масою 1 кг. Знайти силу натягу шнура та прискорення, з яким буде опускатися гиря.

1.99.До кінців нитки, перекинутої через блок, причеплені вантажі масою 0,2 кг та 0,3 кг. У скільки разів відрізняються сили натягу нитки по обидві сторони від блока, якщо маса блока 0,4 кг, а його вісь рухається вертикально вгору з прискоренням 2 м/с2 ?

1.100.Через блок у вигляді колеса масою 200 г перекинута нитка, до кінців якої прив’язані вантажі масами 100 г і 300 г. Визначити прискорення, з яким будуть рухатися вантажі і сили натягу нитки по обидві сторони блока.

1.101.Два однакові маховики обертаються з кутовою швидкістю 63 рад/с. Під дією сил тертя перший маховик зупинився через 60 с, а другий зробив до зупинки 360 обертів. У скільки разів момент сил тертя у першого маховика більший, ніж у другого?

1.102.Платформа у вигляді диска діаметром 3 м і масою m1=180 кг може обертатися навколо вертикальної осі. З якою кутовою швидкістю буде обертатися ця платформа, якщо по її краю піде людина масою 70 кг зі швидкістю 1,8 м/с?

1.103.На краю диска, що обертається за інерцію навколо вертикальної осі з частотою n1 = 8 хв.-1, стоїть людина масою 70 кг. Коли людина перейшла в центр платформи, вона стала обертатися з частотою n2 = 10 хв-1. Визначити масу диска.

1.104.

Куля скочується з похилої площини висотою h = 90 см. Яку лінійну швидкість буде мати центр кулі у момент, коли вона скотиться з похилої площини?

1.105.Куля діаметром 6 см і масою 0,25 кг котиться без ковзання по горизонтальній площині з частотою обертання n = 4 об/с. Знайти кінетичну енергію кулі.

1.106.Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина. На який кут повернеться платформа, якщо людина піде по краю платформи і, обійшовши її, повернеться в початкову точку? Маса платформи m1 = 280 кг, маса людини m2 = 80 кг.

1.107.Стрижень довжиною 1 м висить на горизонтальній осі, що проходить через його верхній кінець. В нижній кінець стрижня, перпендикулярно до осі. вдаряє куля масою 7 г, що летіла зі швидкістю 360 м/с Удар кулі був абсолютно непружним. Визначити масу стрижня, якщо внаслідок попадання кулі він відхилиться на кут 60°.

1.108.Стрижень довжиною 1 м і масою 0,7 кг висить на горизонтальній осі, що проходить через його верхній кінець. В точку, що віддалена від осі обертання на 2/3L, абсолютно пружно вдаряє куля масою 5 г, яка летіла перпендикулярно цій осі. Після удару стрижень відхилився на кут 600. Визначити швидкість кулі.

1.109.Яка робота буде здійснена силами гравітаційного поля при падінні на Землю тіла масою m = 2 кг з висоти h = 1000 км?

1.110.У скільки разів середня густина земної речовини відрізняється від густини місячної? Прийняти, що радіус Землі в 3,9 разів більша від радіуса Місяця і вага тіла на Місяці в 6 раз менша від ваги тіла на Землі.

1.111.При зменшенні в три рази радіуса орбіти польоту супутника Землі період його обертання зменшується у 6 разів. У скільки разів при цьому змінюється швидкість руху супутника?

1.112.Якої маси вантаж могла б підняти людина на поверхні астероїда, якщо на поверхні Землі вона може підняти вантаж масою 80 кг? Радіус Землі перевершує радіус астероїда у 3,2 рази, а маса Землі перевершує масу астероїда у 64 рази.

1.113.

По круговій орбіті навколо Землі обертається штучний супутник, період обертання якого становить 90 хвилин. Визначити висоту польоту супутника.

1.114.Штучний супутник обертається навколо Землі по круговій орбіті на висоті 3200 км над поверхнею Землі. Визначити лінійну швидкість супутника.

1.115.У скільки разів кінетична енергія супутника Землі, що рухається по круговій орбіті, менша від його потенційної енергії?

1.116.

На якій відстані від центра Землі знаходиться точка, в якій сумарна напруженість гравітаційного поля Землі і Місяця є нульовою? Маса Землі у 81 раз більша за масу Місяця, а відстань між центрами Землі і Місяця дорівнює 60 радіусам Землі.

1.117.Визначити густину речовини планети, доба на якій дорівнює 24 годинам, а тіла на екваторі невагомі.

1.118.

Яку роботу треба виконати при піднятті з землі матеріалів для спорудження циліндричної труби висотою 40 м, зовнішнім діаметром D = 3 м і внутрішнім діаметром d = 2 м? Густина будівельного матеріалу g = 2,8 103 кг/м3.

1.119.

З шахти глибиною 600 м підіймають кліть масою 3 т на канаті, кожний метр якого важить 1,5 кг. Яка робота здійснюється при піднятті кліті на поверхню Землі? Який коефіцієнт корисної дії h підіймального пристрою?

1.120.З мідного дроту діаметром 2 мм зроблене кільце радіусом 10 см. Знайти силу з якою це кільце притягає матеріальну точку масою 2 г, що знаходиться по осі кільця на відстані 20 см від його центру.

1.121.При якій відносній швидкості руху, релятивістське скорочення довжини тіла становить 25 % ?

1.122.Мезон рухається з швидкістю, що становить 95 % швидкості світла. Який проміжок часу за годинником нерухомого спостерігача відповідає одній секунді “власного часу» мезона?

1.123.На скільки збільшиться маса протона при його прискоренні від стану спокою до швидкості V = 0,9 C?

1.124.При якій швидкості маса електрона вдвічі більша від його маси спокою?

1.125.

До якої енергії можна прискорити електрони за умови, що відносне збільшення їх маси не повинне перевищувати 5 %?

1.126.Знайти швидкість p-мезона, якщо його повна енергія в 10 разів більша від енергії спокою.

1.127.Синхрофазотрон дає пучок протонів з кінетичною енергією W=10 ГэВ. Яку частку швидкості світла складає швидкість протонів в цьому пучку?

1.128.Маса електрона, що рухається з білясвітловою швидкістю, вдвічі більша від його маси спокою. Знайти кінетичну енергію електрона.

1.129.Сонце випромінює потік енергії Ф = 3,9 1026 Вт. За який час маса Сонця поменшає в 2 рази?

1.130.При поділі ядра урану звільняється енергія 200 МеВ. Знайти зміну маси Dm при поділі 1 моля урану.

1.131.Кулька спливає з постійною швидкістю в рідині, густина якої в 4 рази більша від густини кульки. У скільки разів сила в’язкості, що діє на спливаючу кульку, більша від її сили ваги?

1.132.Якої найбільшої швидкості може досягнути дощова крапля діаметром d = 0,3 мм, якщо динамічна в’язкість повітря становить h = 1,2 10-3 Па c?

1.133.Сталева кулька діаметром d = l мм падає з постійною швидкістю V = 0,185 см/c у посудині, що наповнена касторовою олією. Знайти динамічну в’язкість h касторової олії.

1.134.Суміш свинцевих кульок діаметрами 3 мм та 1 мм опустили в бак з гліцерином висотою 1 м. На скільки пізніше впадуть на дно кульки меншого діаметра у порівнянні з кульками більшого діаметра? Динамічна в’язкість гліцерину h = 1,47 Па с.

1.135.На гладкій горизонтальній поверхні стоїть посудина з водою. Біля дна посудини у бічній стінці є отвір перерізом 8 см2. Яку силу потрібно прикласти до посудини, щоб вона знаходилась у стані спокою, якщо висота води в посудині становить 1 м?

1.136.У попосудину наливається вода зі швидкістю 0,2 літра за секунду. Яким повинен бути діаметр отвору в дні посудини, щоб вода в ньому трималася на постійному рівні h = 8,3 см?

1.137.

У дні циліндричної посудини діаметром D = 0,5 м є круглий отвір діаметром d = 1 см. Знайти залежність швидкості V зниження рівня води в посудині від висоти h цього рівня. Знайти значення цієї швидкості для висоти h = 0,2 м.

1.138.Який тиск створює компресор, якщо струмінь рідкої фарби витікає з нього зі швидкістю V = 25 м/с? Густина фарби g = 0,8 103 кг/м3.

1.139.Під дією сили 196 Н малий поршень гідравлічного преса опускається на 25 см. Яку силу забезпечує великий поршень, якщо він піднімається на 5 мм?

1.140.Порожню металеву кулю зважують у повітрі і у воді. Показання динамометра були 8 Н та 6 Н, відповідно. Визначити об’єм внутрішньої порожнини в кулі. Густина металу 8 103 кг/м3.

1.141.Однорідну кулю підвісилина пружині й опустили у воду, внаслідок чого подовження пружини зменшилося у 3 рази. Визначити густину матеріалу кулі.

1.142.Який об’єм повинна мати повітряна куля з воднем, щоб підняти людину масою 60 кг? Вагу оболонки кулі не враховувати. Густина водню 0,09 кг/м3, густина повітря 1,29 кг/м3.

1.143.Скільки чоловік масою 70 кг зможуть піднятися на повітряній кулі об’ємом 800 м3. Куля заповнена гелієм. Власна вага кулі 5000 Н. Густина гелію 0,18 кг/м3, густина повітря 1,29 кг/м3.

1.144.Тіло плаває у воді так, що під водою знаходиться половина його об’єму. З яким прискоренням треба рухати вгору попосудину, щоб під водою опинилось усе тіло?

1.145.Порожня куля плаває в рідині, занурившись в неї на 1/5 свого об’єму. Густина рідини у 4 рази менша від густини кулі. Яку частку об’єму кулі складає об’єм її порожнини?

1.146.Один кінець нитки закріплений на дні, а другий прикріплений до коркового поплавця. При цьому 0,75 всього об’єму поплавця занурено у воду. Визначити силу натягу нитки, якщо маса поплавця дорівнює 2,0 кг. Густина пробки 250 кг/м3.

1.147.Дерев’яний кубик, ребро якого 9 см, плаває у воді так, що на 2/3 свого об’єму занурений в воду. Якої маси вантаж треба покласти на кубик, щоб він цілком занурився в воду?

1.148.

Крижина з площею поперечного перерізу S = 1 м2 і висотою h = 0,4 м плаває у воді. Яку роботу А треба здійснити, щоб повністю занурити крижину у воду?

1.149.Циліндричний бак висотою h = 1 м наповнений до країв водою. За який час уся вода виллється через отвір, розташований у дні бака, якщо площа S2 поперечного перерізу отвору в 400 разів менша від площі S1 поперечного перерізу самого бака?

1.150.В посудину налили ртуть і поверх неї олію. Куля в ній плаває так, що вона наполовину занурена у ртуть, а наполовину в олію. Густина матеріалу кулі 7172 кг/м3. Знайти густину олії.

1.151.При фазі p/3, зміщення точки, що коливається за законом косинуса, дорівнює 1 см. Знайти амплітуду коливань і зміщення точки при фазі 3p/4.

1.152.Гармонічні коливання відбуваються за законом синуса. Період цих коливань 2 секунди, амплітуда 50 мм, початкова фаза дорівнює нулю. Знайти швидкість точки в момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги дорівнює 25 мм.

1.153.Через який час від початку руху точка, що здійснює гармонічне коливання за законом синусу, зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань 24 с, початкова фаза дорівнює нулю.

1.154.Амплітуда гармонічного коливання 5 см, період 4 с. Знайти максимальну швидкість і прискорення точки, що здійснює ці коливання.

1.155.Рівняння коливання точки х = 2sin(p/2t+ p/4). Знайти період коливань Т, максимальну швидкість vmax та максимальне прискорення amax точки.

1.156.Період гармонічних коливань точки Т = 2 с, амплітуда А = 50 мм, початкова фаза j0=0. Знайти швидкість точки в момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 25 мм.

1.157.Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання, рівняння яких х = А sin(wt), де А = 5 см, w = 2 с-1. В момент часу, коли точка володіла потенціальною енергією П = 0,1 мДж, на неї діяла сила рівна F = 5 мН. Знайти цей момент часу t.

1.158.

Матеріальна точка здійснює прості гармонічні коливання з періодом у 2 с, так що в початковий момент часу зміщення дорівнює х0 = 4 см, а швидкість V0 = 10 см/с. Визначити амплітуду і початкову фазу коливань.

1.159.Точка здійснює гармонічні коливання. У деякий момент часу зміщення точки дорівнює Х = 5 см, а швидкість V = 20 см/с, прискорення а = -80 см/с2. Знайти циклічну частоту, період та амплітуду коливань в момент часу, що розглядається.

1.160.Точка здійснює гармонічні коливання, рівняння яких має вигляд х = Аsinwt, де А = 5 см, w = 2 c-1. Знайти момент часу (найближчий до початку відліку), в який потенціальна енергія точки дорівнює П = 10-4 Дж, а зворотна сила F = +5 10-3 Н..

1.161.Платформа виконує гармонічні коливання в горизонтальному напрямку з частотою 0,25 Гц. На платформі лежить вантаж, коефіцієнт тертя якого об платформу дорівнює 0,1. Яка може бути максимальна амплітуда коливань платформи, щоб вантаж на ній залишався в спокої?

1.162.Знайти різницю фаз Dj коливань двох точок, віддалених від джерела коливань на відстань x1=10 м і x2=16 м. Період коливань Т = 0,04 с, швидкість поширення хвилі V = 300 м/с.

1.163.Знайти зміщення хвід положення рівноваги точки, що віддалена від джерела коливань на відстань l = l/12, для моменту часу t = Т/6. Амплітуда коливань А = 0,05 м.

1.164.Поперечна хвиля розповсюджується вздовж пружного шнура зі швидкістю 15 м/с. Період коливань точок шнура 1,2 с. Визначити різницю фаз коливань двох точок, що лежать на осі і віддалені від джерела хвиль на відстані Х1 = 20 м і Х2 = 30 м.

1.165.Рівняння незгасаючих коливань має вигляд х=4sin(600pt), см. Знайти зміщення х від положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані 75 см від джерела коливань, в момент часу t = 0,01 с після початку коливань. Швидкість поширення коливань V = 300 м/с.

1.166.Визначити частоту простих гармонічних коливань диска радіусом 20 см навколо горизонтальної осі, що проходить через середину радіуса диска перпендикулярно його площині.

1.167.

Знайти період гармонічних коливань диска (R = 40 см) навколо горизонтальної осі, що проходить через твірну диска.

1.168.Визначити період коливань математичного маятника, якщо його модуль максимального переміщення Dr = 18 см і максимальна швидкість Vmax = 16 см/с.

1.169.На невагомому стрижні довжиною 30 см закріплені два однакових вантажі: один в середині стрижня, інший на одному з його кінців. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, що проходить через його вільний кінець. Знайти зведену довжину L і період Т гармонічних коливань цього маятника.

1.170.На гладкому горизонтальному столі лежить шар масою m = 200 г, який прикріплений до пружини жорсткістю k=500 Н/м. В шар попадає куля масою 10 г, що летіла з швидкістю 300 м/с. Знайти амплітуду та період коливань шару.

1.171.До пружини підвішений вантаж масою m = 10 кг. Знаючи, що пружина під впливом сили у 9,8 Н розтягується на 1,5см, знайти період вертикальних коливань вантажу.

1.172.До пружини підвішений вантаж. Максимальна кінетична енергія коливань вантажу становить 1 Дж. Амплітуда коливань дорівнює 5 см. Знайти жорсткість k пружини.

1.173.Мідна кулька, що підвішена до пружини, здійснює вертикальні коливання. Як зміниться період її коливань, якщо до пружини підвісити замість мідної кульки алюмінієву такого ж радіуса?

1.174.Як зміниться період вертикальних коливань вантажу, що висить на двох однакових пружинах, якщо від послідовного з’єднання пружин перейти до паралельного їх з’єднання?

1.175.До пружини підвішена чашка з гирями і виконує вертикальні коливання з періодом 0,5 с. Після того, як на чашку поклали додаткові гирі, період коливань став 0,6 с. На скільки подовжилася пружина від додавання цього додаткового вантажу?

1.176.Логарифмічний декремент загасання математичного маятника d = 0,2. У скільки разів поменшає амплітуда його коливань за одне повне коливання?

1.177.

Знайти логарифмічний декремент загасання математичного маятника, якщо за 1 хвилину амплітуда коливань поменшала в 2 рази. Довжина маятника l = 1 м.

1.178.Амплітуда затухаючих коливань математичного маятника за 1 хвилину поменшала вдвічі. У скільки разів поменшає амплітуда за 3 хвилини.

1.179.Математичний маятник довжиною 0,5 м, виведений з положення рівноваги, відхилився при першому коливанні на 5 см, а при другому — на 4 см. Знайти час релаксації цих коливань.

1.180.Початкова фаза гармонічного коливання j0 = 0. При зміщенні точки від положення рівноваги на 4 см швидкість точки дорівнює 5 см/с, а при зміщенні на 5 см її швидкість – 4 см/с. Знайти період коливання точки.

4. Приклади розв’язування задач

з контрольної модульної роботи.

Приклад 1.1. Рівняння руху матеріальної точки з часом t вздовж осі X має вигляд: X = А – Bt2 +Ct3, де А = 2 м, В = 0,5 м/с2, С = 0,2 м/с3. Знайти координату, швидкість та прискорення матеріальної точки в момент часу t = 4 c.

Розв’язання. Координату Х знайдемо, підставивши в рівняння руху точки числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t.

Тоді:

X = 2 – 0,5 42 + 0,2 43 = 6,8 м,

Миттєва швидкість дорівнює першій похідній від координати за часом. Тоді для t = 4 с отримаємо:

= -2 0,5 4 +3 0,2 42 = -4 + 9,6 = 5,6 м/с ,

Прискорення точки знайдемо, взявши другу похідну від координати за часом. Тоді для t = 4 с отримаємо:

= -2 0,5 +6 0,2 4 = 3,8 м/с2 ,

Приклад 1.2. Платформа обертається навколо нерухомої осі так, що кут її повороту j з часом t змінюється за законом: j = А — Bt + Ct3, де В = 18 рад/с, С = 2 рад/с2. Знайти повне прискорення точки платформи, що знаходиться на відстані 0,25 м від осі обертання в момент часу t = 2 с.

Розв’язання. У випадку руху тіла по кутовій траєкторії тангенціальне прискорення аt направлене по дотичній до траєкторії, а нормальне прискорення an направлене до центру кривизни траєкторії, тобто вони є взаємно перпендикулярними. Тому модуль повного прискорення буде дорівнювати:

, (1.1)

Модулі тангенціального і нормального прискорення точки знайдемо з наступних співвідношень:

аt = e r , an = w2 r ,

де w — кутова швидкість тіла, e — його кутове прискорення.

Підставляючи вирази для аt и аn у формулу (1.1), знаходимо:

, (1.2)

Кутову швидкість знайдемо взявши першу похідну від кута повороту за часом. Тоді при t = 2 с модуль кутової швидкості буде дорівнювати:

Кутове прискорення знайдемо, взявши другу похідну від кута повороту за часом:

Підставляючи значення знайдених параметрів w, r, e у формулу (1.2), отримуємо остаточний результат:

Приклад 1.3. На спокійній воді ставка носом до берега стоїть човен масою М = 280 кг і довжиною L = 4 м. На кормі стоїть людина масою m = 60 кг. На яку відстань s віддалиться човен від берега, якщо людина перейде з корми на ніс човна?

Розв’язання. Розв’язання цієї задачі ґрунтується на тому, що центр мас ізольованої системи людина-човен не змінює свого положення у просторі при будь-яких змінах, які в ній відбуваються.

У початковий момент

центр мас системи C1 знаходиться на вертикалі, що проходить через цю точку, а після переміщення човна — через іншу її точку C2 (див. рис. 1.3). Як видно з цього ж рисунка, в початковий момент центр маси човна (точка 0) знаходиться на відстані а1 ліворуч від вертикалі, а після переходу людини на ніс човна — на відстані а2 праворуч від неї.


Рис. 1.3.

Тоді переміщення човна буде:

S = а1 + a2 (1.3)

Для визначення параметрів а1 і a2 скористаємося тим, що сумарний момент сил, діючих на систему відносно її центра мас, дорівнює нулю. Тому у початковому положенні:

Mg a1 = mg (L1 – a1) ,

Звідки:

a1 = mL1 / (M + m) ,

А після переміщення човна умова рівноваги набуде вигляду:

Mg а2 = mg(L – L1 — a2),

Звідки:

a2 = m (L — L1) / (M+m) ,

Підставивши отримані вирази для а1 і a2 у формулу (1.3), знайдемо шукане переміщення човна у загальному вигляді:

,

Робимо обчислення та отримуємо: S » 0,71 м.

Приклад 1.4. При пострілі з пружинного іграшкового пістолета вертикально вгору куля масою 9 г піднялася на висоту 2,8 м. Визначити жорсткість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на 5 см.

Розв’язання. Для розв’язання задачі можливо застосувати закон збереження енергії, бо на тіла системи діють тільки консервативні сили. Тоді повна механічна енергія е1 системи у початковому стані (перед пострілом) дорівнює повній енергії Е2 у кінцевому стані (куля піднялася на висоту h).

T1 + П1 = Т2 + П2 , (1.4)

де T1 , П1 , Т2 , П2 — кінетичні і потенціальні енергії системи в початковому і кінцевому станах.

Оскільки кінетична енергія кулі в початковому і кінцевому станах дорівнює нулю, то рівняння (1.4) скоротиться:

П1 = П2 , (1.5)

Енергія системи в початковому стані дорівнює потенціальній енергії стислої пружини, тобто П1 = 1/2 kx2, а в кінцевому стані — потенціальній енергії кулі на висоті h, тобто П2 = mgh.

Підставивши ці вирази у формулу (1.5), знайдемо:

= 201,6 Н/м

Приклад 1.5. Куля масою m1 = 0,8 кг, що рухалась горизонтально зі швидкістю v1=2 м/с, зіткнулася з нерухомою кулею масою m2=2 кг. Удар абсолютно пружний, прямий, центральний. Яку частку (в %) своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?

Розв’язання. Частка енергії, що передана першою кулею другій при ударі, буде дорівнювати:

, (1.6)

де m1, V1, W1 – маса, швидкість iкінетична енергія першої кулі до удару, m1, u2, W2 маса, швидкість і кінетична енергія другої кулі після удару.

Для визначення швидкості u2 скористаємось формулою (4.28), бо вона отримана за умов, що повністю відповідають умовам нашої задачі. Тоді:

, (1.7)

Підставивши це значення U2в формулу (1.8) і скоротивши на V1і m1, отримаємо:

,

Робимо арифметичні обчислення:

Приклад 1.6. Через блок у вигляді суцільного диска, що має масу m = 80 г перекинута тонка гнучка нитка, до кінців якої підвішені вантажі з масами m1 = 100 г і m2 = 200 г. Визначити прискорення з яким почнуть рухатися вантажі.


Рис. 1.4.

Розв’язання. Розглянемо сили, що діють на кожний вантаж і на блок у цілому (див. рис. 1.4). На кожний вантаж діють дві сили: сила тяжіння і сила натягу нитки. Враховуючи, що сила натягу нитки буде дорівнювати вазі відповідних вантажів, маємо:

Для першого вантажу:

T1 =m1 (g +a) , (1.8)

для другого вантажу:

T2= m2 (g – а) , (1.9)

Під дією моментів сил Т11 і Т12блок набуде кутового прискорення. Тоді, у відповідності до основного рівняння динаміки обертального руху, маємо право записати:

12 — Т11 ) R = Jz e , (1.10)

де e — кутове прискорення, Jz – момент інерції блоку, який дорівнює 0,5 m R2.

Для визначення кутового прискорення використаємо вираз (1.28) і врахуємо, що тангенціальне прискорення блока дорівнює прискоренню з яким рухаються вантажі (а = at). Тоді:

e = at / R = a / R , (1.11)

Згідно з III законом Ньютона: Т12 = T2 і Т11 =T1. Підставивши в рівняння (1.10) значення усіх параметрів, отримаємо:

(m2g — m2a) r — (m1g + m1a) r = 0,5 mr2a / r ,

Після скорочення на r і нескладних алгебраїчних перетворень знайдемо розв’язок у загальному вигляді і, зробивши арифметичні обчислення, отримаємо:

= 2,88 м/с2

Приклад 1.7. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R = 2,2 м і масою m1 = 280 кг обертається біля вертикальної осі з частотою n = 12 хв-1. У центрі платформи стоїть людина масою m2 = 80 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

Розв’язання. Для розв’язку даної задачі застосуємо закон збереження моменту імпульсу:

Lz = Jz w = const , (1.12)

деJz — момент інерції платформи відносно осі обертання z, w — кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять до складу цієї системи, тому в початковий момент часу маємо: Jz = J1 + J2, а у кінцевий — Jz‘ = J1‘ + J2‘.

З урахуванням цього рівняння (1.12) набуде вигляду:

(J1 + J2 ) w = (J1‘ + J2‘ ) w’ , (1.13)

де J1, J2, J1‘, J2‘ — значення моментів інерції платформи і людини відповідно у початковий та кінцевий моменти часу, w, w’ — кутова швидкість платформи у початковий та кінцевий моменти часу.

Момент інерції платформи відносно осі z не змінюється і дорівнює: J1 = J1‘ = 1/2 m1R2.

Момент інерції людини відносно тієї ж осі обертання буде змінюватися. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то її момент інерції J2 у центрі платформи буде дорівнювати нулю.

На краю платформи момент інерції людини, у відповідності до теореми Штейнера, буде дорівнювати J2‘ = m2 R2.

Підставимо в формулу (1.13) значення цих моментів інерції та початкової кутової швидкості платформи з людиною (w = 2pn) і кінцевої кутової швидкості (w’ = v/R) та отримаємо:

(1/2 m1 R2 + 0) 2n = (1/2 m1 R2 + m2 R2) v/R ,

Після скорочення на R2 та очевидних алгебраїчних перетворень, з вищенаведеного рівняння знаходимо:

v= 2p n R m1 / (m1 + 2m2) ,

Зробивши арифметичні обчислення, отримаємо: v » 1,76 м/с.

Приклад 1.8. Частинка масою m = 0,01 кг, яка підвішена до невагомої пружини, здійснює гармонічні коливання з періодом 2 с. При цьому повна енергія її коливання дорівнює Е = 0,1 мДж. Визначити амплітуду коливань і максимальне значення сили, що діє на частинку.

Розв’язання. Для визначення амплітуди коливань скористаємося формулою (9.13), що визначає повну енергії частинки:

E = 0,5 m w2 A2 ,

Скориставшись співвідношенням wТ = 2p, з вищенаведеної формули, отримаємо:

, (1.14)

На частинку діє пружна сила, максимальне значення якої буде при максимальному зміщенні Хmax, яке вочевидь дорівнює амплітуді коливань:

Fmax = k Хmax = k А , (1.15)

де k — коефіцієнт пружності пружини.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *